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あなたはビルゲイツの試験に受かるか?
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その22:極端なケースとひらめき
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 数学や物理学を応用しながら問題を解いていくその考え方や思考の過程を見ようとするもの、あるいは枠にとらわれずに導きだした答に対する説得力を見ようとするもの、さらには創造的発想の有無をさぐるもの、その他多々、これまで20あまりの設問を見てきましたが、それらとは違って前回は、「まさか、氷の重さを推定する過程で、回答者の安全意識やコスト経済意識を見ようとしているとは」と思った方も多いのではないでしょうか。
 実際、わずかな厚みの差でも大きな違いをもたらすことから、新設のリンクでは最適な厚みを得るために事前の綿密なシミュレーションテストを繰り返し行っているそうです。
 たしかにどのような場面でも、すべての人間に常に安全意識や特に注意深いコスト意識が求められる、それがビジネスの世界ですから、システムやソフト開発の業界で論理的な技術面だけに長けているというのではダメだということなのでしょう。

 では、次の設問はどうでしょうか。

問題 設問22 その上に何も置いてない長方形のテーブルがある。10円玉を何個でも使えるものとして、そのテーブル上の好きなところに2人で順次交互に10円玉を置いていくゲームを考える。ただ1つの規則として、自分の10円玉が、テーブル上にある他の10円玉に触れてはいけないという条件で、2人が順番に10円玉を置いていき、テーブルが10円玉でいっぱいになるまで続けるものとする。
すでにテーブルにある10円玉に触れないで、新たに置くことができなくなった方が負けになるとすると、自分が先手の場合、どんな戦略をとるか。

 この設問を見て、「これはビル・ゲイツが出題した設問ではないのではないか、日本の貨幣の名称を使うはずがない」と思った皆さんもいると思います。
 しかし一方、この連載「あなたはビル・ゲイツの試験に受かるか」の巻頭その1でご紹介した設問サンプルには「富士山を動かすのにどれだけ時間がかかるか」が出てくることや、毎回出典案内に掲載しているように、原書のタイトルまでが日本の富士をテーマにしている「HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ? 」になっていることなどから、日本語の名称が出てきても、別段、違和感を感じないという方もいるかもしれません。 
 実際のところ、この設問では先方のコインを使っていました。それはQuarterと呼ばれているコインで、25セントです。しかし米国では非常にポピュラーな25セントといっても、日本の皆さんには馴染みが薄いことや、たとえそれを日本の貨幣にしたとしても問題の本質が変わるものではないことから、一番それに近いと思われる日本の10円玉にしたもので、あくまでも当設問のオリジナルはれっきとしたビル・ゲイツの面接試験問題です。

 では解説に入ります。
 設問はだだっ広いテーブル上に小さなコインをびっしりと置いていくというゲームで、勝負が決まるまでには何十何百手もかかりそうな、つかみどころのないイメージが、まず浮かんできます。一般に多くのゲームや試合を見ていればわかるように、必ずしも先手が勝つということはなく、たとえ最初有利であってもその有利さがずっと続くわけでもありません。しかし、設問で戦略といっている以上何か有利な方法があるはずです。

 まず、先手として最初にコインを置ける場所は無数にありますが、どこか特長のある位置があるとしたら、四隅です。特異とはいえなくとも、目立つ場所です。しかし四隅ということは、交互に10円玉を置いていった場合、相手にも必ず置く場所があるということになり、このような形で自分が先手だと負けてしまいます。

 広いテーブル上でこの四隅のことを延長して考えますと、自分がどこに10円玉を置いたとしても、相手には必ず置き場所がありそうで、頭の中が混乱してきます。つまり、テーブルの中心点をはさんで、自分が置いた10円玉の位置と点対称の位置に、必ず相手も置いていけますので、最終的には結局、相手が勝つことになってしまいます。
 つまり、相手は先手の位置を点対称でまねているだけで勝てるわけです。このまねているだけで相手が勝つということは、逆に先手のほうがまねのできるような立場にもっていけば勝てる、というヒントにもなります。しかしそんな方法がないとするなら、他のケースを検討しなければなりませんが、まずは1つの解き方として覚えておいてください。

 さて、当シリーズのその19、「先入観を捨て、視点を変えて見る」を思い出してください。また、たくさんのやり方がありそうな場合、その糸口になるのが「極端を考えるひらめき」だとして赤白玉の取り出し方の確率問題のところで解説したその7を思い出してください。
 テーブルというとだれでも日常見慣れているテーブルを思い出します。それに比べ10円玉はずっと小さく、したがって前述したように、だだっ広いスペース上にいっぱい置かれた無数の10円玉、つまりたくさんのやり方をイメージしてしまいますが、ここではそれらの教訓を生かし、先入観として持っている普段のテーブルの大きさを一時リセットして、極端なケースを考えてみるわけです。

 設問ではその大きさについては何も言っていません。だから並べる10円玉をできるだけ少なくする極端に小さなテーブルで考えてみます。また、テーブルには升目が入っていませんが、分かり易くするため10円玉を置いたところに、頭の中でそのサイズの升目を描いてみます(図1)。そうすれば、他の10円玉に触れないという条件はその升目をはみ出さないということと同じになりますから、このことに注意しながら考えていきます。

図1
<図1>

10円玉と升目。

 以下10円玉を硬貨と呼んで説明してまいります。まず、硬貨が2個までは置けない、つまり1個なら置ける一番小さなテーブルだったら、問題なく先手の勝ちです。(図2)

図2
<図2>

升目2個分はないテーブルでは、
先手がどこに置いても、後手の10円玉ははみだす。

 さて次に、横1列に3個は置けないが2個までなら置ける少し長いテーブルだったらどうか、これが問題の突破口、核心に触れるヒントを与えてくれそうです。というのも、あとは10円玉の個数が増えるだけの繰り返しになる、と思われるからです。
 では2個までなら置けるこの場合は、升が最大3つを少し欠けるだけのスペースがあるということで、先手の置き場所によっては、相手の貨幣が置ける充分なスペースが残ることになります。したがって先手はどうしても相手の置き場所を邪魔するような方法でないと勝てません。これが戦略です。

 この戦略を考えていきますと、それは先手升の両端に残るスペースを同時に最小にすることしかないことがわかります。というのも、もし片方に残るスペースを縮めようとすれば、もう片方のスペースはその縮めた分だけ広がってしまい、この広がったスペースに相手の置き場所が充分できるようになるからです。
 そこで、両端に残るスペースを同時に最小にする方法とは、、、それは先手の升が真ん中にくるとき、すなわちテーブルの中心に先手の貨幣を置くときです。こうすると升2個分まではない残りのスペースは半分に分断されますので、その両端にはそれぞれ升1個分を欠くスペースしか残りません(図3)。したがって相手の硬貨を置くところがなくなり先手の勝ちが決まります。

図3
<図3>

升目3個分はないテーブルで、先手が真ん中に置けば、
後手の10円玉はどちら側に置いてもはみだす。

 ここで前述の青色太文字部分で、「先手のほうでまねるような立場にもっていけば勝てるというヒントを覚えておいてください」とコメントしましたが、それを思い出していただくと、あとは簡単に解けそうです。
 つまり、横1列のスペースがどのように長くなっても、まず先手の貨幣をその中心に置けば、同じ面積スペースが両端に残りますから、次にその一方のスペースのどこかに相手が貨幣を置けるなら、中心をはさんでその線対称となるちょうど反対のところに、先手も次の貨幣を置けることになります(図4)。そして相手の貨幣が置けるかぎり、先手の貨幣も置けるわけで、最後は相手の貨幣が置けなくなるまで続ければいいわけです。この戦略方法でやれば必ず先手が勝てることになります。

図4

<図4>

中心をはさんで後手が貨幣を置けるなら、
その線対称となるちょうど反対のところに、先手も次の貨幣を置ける。

 ここまで横1列に貨幣を並べるテーブルで考えましたが、これを拡大して幅のある普通のテーブルを考えても、テーブルの中心を点対称にして同じような方法をとっていけば、まったく同様の結果が得られることは容易にわかります。

 では、他の戦略はないのか。この問題を突き詰めていけば、つまるところ対称がカギとなっていることがわかってきます。したがって、これ以外の解答は見つかりません。ただし、正解に至るスピードという点で断然違いが出てくる考え方があります。
 解説文の最初に出てくる太文字部分、「相手は先手の位置を点対称でまねているだけで勝てるわけです」のところで、それなら「相手がまねのできない場所」はないのかという「考え方・ひらめき」です。この考え方がひらめけば、もはや極端なケースから紐解いていく必要はなく、即そこで解答が出るわけです。相手がまねのできない場所とは、テーブルの中心しかありません。

 もうおわかりのように、この出題の背景は「先入観を捨てることと、いくつも方法がありそうな場合には極端なケースを考えてみる」ということですが、「相手がまねのできない場所」というこの「考え方・ひらめき」も、その解答に至る時間の短さという点で応募者の力量を見るための参考にしようとしているものです。

 では解答です。


正解 正解22 先手の10円玉をテーブルの中心に置く。あとは相手が10円玉を置く毎に、その位置とテーブルの中心をはさんで点対称にした反対側の位置に、先手の10円玉を置いていけばよい。

 では次の設問を考えてください。

問題 設問23 これまでのビル・ゲイツの面接試験問題で、それぞれの設問にはその出題背景がありましたが、そもそも面接試験でなぜこのようなパズル形式にした問題を出すのか、その本質・意図は何でしょう。




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 ビル・ゲイツの出題問題に関しては、HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ? (Microsoft’s cult of the puzzle. How the world’s smartest companies select the most creative thinkers. )By William Poundstore の原書や、筆者の海外における友人たちの情報を参考にしています。
 また連絡先不明などにより、直接ご連絡の取れなかった一部メディア媒体からの引用画像につきましては、当欄上をお借りしてお許しをいただきたく、よろしくお願い申し上げます。


梶谷通稔 【執筆者】  梶谷通稔 - かじたに みちとし
岐阜県高山市出身 早稲田大学理工学部応用物理学科卒

元 :   米IBM ビジネス エグゼクティブ
現在: (株)ニュービジネスコンサルタント社長
    日本IBM  GBS 顧問
    東北芸術工科大学 大学院客員教授
    (株)アープ 最高顧問
 講演・セミナー・研修・各種会合に (スライド9125枚とビデオを使用)
 コンピューター分析が明かすリクエストの多い人気演題例
 (参加者層に応じてミックス可) (各1~2時間)
  ・ビジネスの「刑事コロンボ」版。270各社成功発展のきっかけ遡及解明
テレビ出演
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  ・求められるリーダーや経営者の資質。
  ・栄枯盛衰はなぜ起こる。名家 会社 国家衰亡のきっかけ。
  ・人生1回きり。あなたが一層輝くために。
  ・どう変わる! インターネット社会


 出版:
  1988年  『企業進化論』 (日刊工業新聞社刊) ベストセラー
  1989年   『続・企業進化論』 (日刊工業新聞社刊) ベストセラー
  2009年   『成功者の地頭力・あなたはビルゲイツの試験に受かるか』 (日経BP社)

 連載:
  1989年 - 2009年   『徒然草』 (CSK/SEGAの全国株主誌)
  1996年 - 2003年   『すべてが師』 (日本IBMのホームページ)
  1995年 - 進行中   『あなたはビル・ゲイツの試験に受かるか』 (Web あーぷ社)

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