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あなたはビルゲイツの試験に受かるか?
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その62  最終図をイメージしてみる
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 小学算数で教わる植木算のような問題は、一見、単純そうに見えますが、それなりに注意してとりかからないと間違いやすく、面接試験などのスピード解答が要求されるような場面では特に注意が必要で、そこに日常における注意力や洞察力、あるいは冷静な観察力や思慮深さが要求されるわけです。その1つの例として前問を見ていただきました。

 では、今号の問題はどんなポイントを見ようとしているのでしょうか。

問題 設問62 先祖代々受け継がれてきた山田さんと川田さんの隣り合っている大きな田んぼは、図のように直線ながら大変いびつな形の凸凹あぜ道で仕切られているため、非常に効率の悪い農作業を強いられてきました。困っていた2人は、境界の目印として埋め込まれているA地点の石は動かさないで、もっとすっきりした線で仕切れないものかと、あなたに助けを求めてきました。今、あなたが利用できるものといえば、いくらでも使える1本の長い縄と何本でも使える杭、そしてハサミだけしかありません。両者の田んぼの面積を変えることなく、すっきりとした境界線を引くにはどうしますか。
田んぼとあぜ道の地図

 近代的な測量機器がそろっている今日では、何の問題もなく解決できる設問ですが、ピラミッド建設当時のエジプトでは、ナイル川氾濫による農地境界線の消失で、毎年、新しく区分けのための線引きが必要だったことから、当時、縄に等間隔の印を12ヵ所付けて、3辺の長さが3対4対5となる三角形でもって直角を作っていたという、すでにピタゴラスの定理を使っていたようですが、縄だけを使う当設問も論理思考および知恵を絞って解かねばならない問題のようです。

 まずは設問のような、ひどくいびつで凸凹になっている境界線の図を見て、原始的な縄だけを使い、両者を同じ面積にするようなすっきりとした境界線など、そんな線を引く方法があるのか、そんなことができるはずがないなどと戸惑った皆さんも多かったかもしれません。
 しかし、ここでビル・ゲイツの言う「よ〜く考えよ」ということです。

図2 最終図のイメージ
 そこで当連載シリーズでたびたび言及している解決への糸口、突破口、手がかりですが、この設問の場合は最終図を思い描いてみることにあります。
 設問にあるそのすっきりとした線とはどんな線か、与えられた道具のなかで線を補助するものとすれば縄しかありません。ということは縄だけで曲線をひくことはできませんから、図2のようなおそらく1本の真っ直ぐな直線ということが予想されます。しかし測量機器がない以上、はたして同じ面積にするような方法があるのか疑問です。

 そこで皆さんの中には、四角ばった折れ線での解決策を考えた方もおられるかもしれません、がしかし、この場合でも結果として境界線が凸凹になるという観点からは現状とさして変りなく、すっきりとした線ではないことはもちろん、やはり縄とハサミと杭だけでどうやって同じ面積にするのかがネックになります。
 いずれにしましても、すっきりとした線ということから、この図2を最終図に想定してみます。するとそれが次第に突破口になることがわかってきます。

図3 頂点に名前付けをした図
 まず改めて現状を複雑にしているものを考えてみますと、それは図3のa〜eのように境界線を極端にまで折り曲げている頂点の存在であり、またその頂点が多いということです。
 そこで図1と図2をじっくりと見比べてみますと、或る事に気付くはずです。もちろん単に頂点が無いということならば誰でもわかりますが、その或る事とは今まで多くあった頂点はどこへ行ったのだろうという疑問で、実はこの発想が重要だということなのです。

 このように解説しますと、それが突破口とどんな関係があるのか、まったくよくわからない、と思われる方もおられるかもしれませんが、この連載シリーズでは正解への糸口、突破口、手がかりを示すだけでなく、必然的に正解に至るまでの過程においてその必然性を示すことにも意を注いでいます。
 ここでの必然性とは、単に多くの頂点が消えたとして見るのではなく、頂点はどこへ行ったのかという疑問を持つことによって他の見方、つまり移動という見方が出てくるということです。そこではa〜eの頂点が消えたのではなく、それぞれ移動しているのではないか、結果的に1つの頂点Zに集約されて残っているのではないか、という見方
です。

図4 三角形の面積
 このような見方をすることによって、おそらくどなたも小学校で学んだ三角形の面積の出し方を思い出されるのではないでしょうか。つまり図4の三角形A、B、C、Dのように、それらは頂点がどのように変わっても、底辺と高さが同じならばすべて同じ面積になります。
 したがって、どのように頂点を移動しても同じ面積が保てるということ、そして問題の凸凹の境界線は多くの三角形に分解できるということに気が付けば、 あとは小学校で学んだことを実行するだけということになるわけです。
 そこで図3で、まずZが存在すると考えられる下の囲い線に一番近いdの移動を考えつくと思います。そして図5のようにd を通るceに平行な直線を引いて下の囲い線と交わる点をDとすれば、底辺と高さが同じ三角形cdeとcDeの面積は同じになりますから、結果、同じ面積を保ちながら頂点dは囲いの中から移動して消えたことになります。
 こうして同じ方法により、順次、図6から図9のように頂点を移動していけば、最終的にAZという直線のすっきりした境界線が引けるわけです。
図5 同じ面積の三角形cdeと三角形cDe
図6 同じ面積の三角形bcDと三角形bcC 図7 同じ面積の三角形abCと三角形abB 図8 同じ面積の三角形AaBと三角形AaZ 図9 解答:直線AZ

 めでたし、めでたし・・・とここで終わりにしたいところですが、これだけでは合格点はもらえません。
 説明では図5のようにd を通るceに平行な直線を引いて・・・と、何の抵抗もなくスッと入っていきましたが、縄と杭とハサミだけでどうやって平行線を引くのか、を解決しなければならないからです。
 そこで、平行な線を引くということになりますと直角がどうしても必要になります。冒頭のエジプトの話ではピタゴラスの定理による直角三角形を使っていたようですが、ここではこの3つの原始的な道具を使って直角から長方形を作り、それによって平行線を求める方法にします。

 まず縄を使って一番簡単に直角を作る方法は、図10のように垂線から求める、下記順による方法です。
図10 垂線から長方形を作成する方法1
1. 任意の点A、Bに杭を打ち、それぞれA、Bを中心に縄で円をいくつか作る。
2. 縄がベース直線に交わらないで、そこに届く一番短くなる点、いわゆるそれぞれの接点cとdに杭を打つ。AcとBdは垂線。
3. 縄をAcの長さに切って、Bdの直線上に持って行き、長方形abcdを作る。

 さて、長方形の作り方がわかったら、今度は実際に田んぼの図形に戻り、次のような順で平行線を求め、図5から最終図9のように展開していけば完了です。

1. ベース線に対する三角形の頂点Aおよび任意の点Bから垂線を求め、上記の方法で長方形abcdを作る。
2. このときの直線abが、ベース線に対する三角形の頂点Aを通る平行線になる。
図12 平行線を引く順番

 この方法でいけば、どんなに多くの頂点があっても解けることがわかります。また、あまり現実にはないと思われますが、もしも当初の境界線に曲線が入っていたらどうするか、その場合は時間がかかるものの曲線部分を細かく分解して、たくさんの三角形に置き換えていけば、あとは同様の方法で解けばよいということです。

 当設問の背景は、現実の生活の中で起こり得る問題として、先端技術の道具などがその場に無い場合でも、最終図をイメージし、小学校で学んだ知識をいかに生かし知恵を絞ることができるかどうか、そこのところを見ようとしていることがありそうです。

 それでは、正解です。



正解 正解62 上記図で示したような方法で説明する。

 それでは次の問題をやってみてください。

問題 設問63 ここにリンゴとミカンと、それぞれきっちり同じ分量の粉末があります。同じ分量とは、それぞれ同じ大きさの粉塵で重さも体積も量も同じという意味です。これらの粉末をまったく同じ量の純水が入っている2つのコップにそれぞれ投入し、粉末が水全体に均等に溶けるまでよくかき混ぜます。ここで便宜上、それぞれのコップをリンゴコップ、ミカンコップと呼ぶことします。そして均等に溶けているリンゴコップからきっちりスプーン1杯分の量の液をすくって、それをミカンコップに注ぎます。そしてそこでまた均等に混ざるよう充分にかき混ぜたあと、今度は逆にミカンコップからきっちり同じスプーン1杯分の量の液をすくって、リンゴコップに戻し、2つのコップの溶液量を最初と同じにします。そこでリンゴコップの中のミカン粉末の量と、ミカンコップの中のリンゴ粉末の量とでは、どちらが多いでしょう。


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 ビル・ゲイツの出題問題に関しては、HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ? (Microsoft’s cult of the puzzle. How the world’s smartest companies select the most creative thinkers. )By William Poundstore の原書や、筆者の海外における友人たちの情報を参考にしています。
 また連絡先不明などにより、直接ご連絡の取れなかった一部メディア媒体からの引用画像につきましては、当欄上をお借りしてお許しをいただきたく、よろしくお願い申し上げます。


梶谷通稔 【執筆者】  梶谷通稔 - かじたに みちとし
岐阜県高山市出身 早稲田大学理工学部応用物理学科卒

元 :   米IBM ビジネス エグゼクティブ
現在: (株)ニュービジネスコンサルタント社長
    日本IBM  GBS 顧問
    東北芸術工科大学 大学院客員教授
    (株)アープ 最高顧問
 講演・セミナー・研修・各種会合に (スライド9125枚とビデオを使用)
 コンピューター分析が明かすリクエストの多い人気演題例
 (参加者層に応じてミックス可) (各1~2時間)
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  ・求められるリーダーや経営者の資質。
  ・栄枯盛衰はなぜ起こる。名家 会社 国家衰亡のきっかけ。
  ・人生1回きり。あなたが一層輝くために。
  ・どう変わる! インターネット社会


 出版:
  1988年  『企業進化論』 (日刊工業新聞社刊) ベストセラー
  1989年   『続・企業進化論』 (日刊工業新聞社刊) ベストセラー
  2009年   『成功者の地頭力・あなたはビルゲイツの試験に受かるか』 (日経BP社)

 連載:
  1989年 - 2009年   『徒然草』 (CSK/SEGAの全国株主誌)
  1996年 - 2003年   『すべてが師』 (日本IBMのホームページ)
  1995年 - 進行中   『あなたはビル・ゲイツの試験に受かるか』 (Web あーぷ社)

※この連載記事の著作権は、執筆者および株式会社アープに帰属しています。無断転載・コピーはおやめください。

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