設問に大きな数字や量が出されているとき、あるいは設問がいかにも複雑なように見えるとき、そんなときは小さな数字や量、あるいはシンプルな形や極端なケースに置き換えてみると、意外にも簡単に解けてくるという重要なメッセージをこれまで度々お伝えしてきました。

　これらの事例の多さから、正解への突破口、糸口、手がかりとしていかにこの方法が重要であるかがおわかりいただけるものと思います。
　以降の設問でも、しばしばこの方法で試していただくことをお薦めします。

　また前問でもう一つ、地頭力にちなんで洞察力の話をしました。出題者側が、問題の構成上、応募者に尋ねたくても尋ねることができない問題の一例として解説しましたが、そこのところを汲み取るだけの洞察力を働かせていただくべく、それは格好の問題だったということです。

　では今号の設問はいかがでしょうか。

設問70 　あなたは地球に戻ろうと、今、安全を見て燃料の心配が要らないロケットで、 新天地の惑星から飛び立ちました。ところがやはり緊急事態が生じ、あなたにとって1年以内に少なくとも地球の大気圏まで戻らないと、燃料のことよりももっと深刻な事態が起こることがわかりました。それは、あなたのロケットが爆発してしまうことです。しかし、その時点におけるロケットは地球から見て1.3光年という距離だったのです。現在わかっている限り、宇宙で一番スピードが速いのは光速で、秒速30万キロメートルですが、1光年とは、その光の速度で1年かかる距離です。さて、あなたはどうしますか。

　さて、今回も最初からその洞察力が関係してきます。というのも、その設問文のあとに“今回は夏休み用の特別思考問題です。家のくつろいだ中でやってみてください”という事務局のコメントがありますが、そこに何かを感じませんでしたか？
　つまりその背景には、この設問は面接試験の場で解くといった類の問題ではなく、だから時間の制限もなく、必要なら卓上計算機でもパソコンでも自由に使え、あるいはインターネットでもどんな資料でも必要に応じ何でも参照することができる、という環境設定が暗示されているということです。
　前問69でも解説しましたように、もしも設問の中にパソコンを使ってもよいことなどをつけ加えてしまいますと、どこか解答へと直結するヒントになるかもしれなく、中身はのちほどの解説をみていただくとわかりますが、そのあたりの背景を洞察してほしいという事情があるわけです。

　一方、設問そのものを見てみますと、一番早い光のスピードをもってしても1.3年もかかるほどの距離を、1年以内で行くにはどうするか、と問われているような出題で、初めからまったく無理とも思える、どこかひっかけやワナが仕組まれている設問ではないのか、真面目というよりもトンチを利かして解くような設問なのではないか、と思われた皆さんも多かったかもしれません。

　たしかにこれまでとは一風変わった設問のようですが、決して間違っているわけではなく、またトンチ問答の類でもない設問です。
　そこで存分に地頭力の働く方ならば、次のような疑問が脳裏をかすめたかもしれません。
　「設問の中にあるすべての数の中で、どうして1つだけが半端な1.3という数なのか。いかにも半端で、なぜ1.5や2というきりのいい数ではないのか。」と。それはのちほどわかります。

　さて、設問のタネを明かせば、これはビル・ゲイツが出した問題ではありません。実は、物理学に関連して私が出題したもので、これは特殊相対性理論を分かり易く理解するための問題だと言ってもいいかもしれません。

　それでは解説に移ります。

　先ごろ、光よりわずかに速いニュートリノ素粒子があるのではないか、という国際研究グループの発表した話題が紙上をにぎわしていますが、まだ認証されるまでの実証が不足していて市民権を得たわけではなく、設問にもありますように、現在わかっている限り光速がこの世で一番早いということ、そしてもう1つ重要なこと、それは、真空中の光の速さは光源の運動状態に無関係に一定である、という光速度不変の原理です。

え？　光源の運動状態に無関係？　それはおかしいではないか、たとえばエスカレーターの階段を歩いて登っている人は、エスカレーターに乗ってそのまま動かない人よりも明らかに早く上に進んでいる。時速ｘの速度で走っている電車の中を、その進行方向に人が時速ｙで走っているとすれば、最終的にその人の速度は、時速ｘ＋ｙになる。
　だから、もしも光のスピードで走っている電車があって、その中の光源から進行方向に光を放てば、結局その光源からの光は2倍の速度になるはずではないか、というごく自然な疑問が出てくると思います。

　しかし、実際にはそうならないことが、いくつかの実験で確かめられています。ヨーロッパの合同素粒子原子核研究機構・CERNで、光速の99.975%ものスピードで飛ぶパイ中間子の光源から発せられた光の速度は、2倍のスピードにはならず、やはりそのまま通常の光の速度30万キロメートル/秒でした。
　では、エスカレーターにしろ電車にしろ、人の速度の場合は加算が成り立ち、どうして光速の場合そうならないのか、という疑問が出てきます。

　その解答は、日常生活での速度というものが光速に比べてあまりにも遅いためです。実際、あなたが電車の外から、電車とその中を走る人を見ているとします。
　するとちゃんと次の式が成り立つのです。
　 電車の速度をｘ、電車の中を走っている人の電車に対する速度をｙ、光の速度をｃとすると、最終的にあなたが見るその人の速度Vはとなります。*は乗算記号です。
　ここで電車も人も光速だとすると、ｘ＝ｃ、ｙ＝ｃですから、計算結果はV＝ｃとなり、結局光速となります。また一方日常生活では、ｘもｙも光速に比べ格段に遅いですから、実際、式の中のの値は限りなくゼロに近く、結局は限りなくV＝ｘ＋ｙとなってわれわれの日常経験する加算の値になるわけです。

　そうするとまた1つ疑問が出てくると思います。どんな場合でも光速度不変とするとつじつまが合わないことが起こるという疑問です。そう思った方たちはアインシュタインと同じ頭脳の持ち主です。というのも、この疑問が特殊相対性理論に結びついたからです。
　この理論が当設問70の解答を得るために必要不可欠なため、ここでその疑問について解説しますが、すでにそんなことは知っているという方はとばしてください。

　まず、電車の中の床に光源があって、その光源から今度は真上に向けて放たれた光を電車の外にいるあなたと、電車の中にいるあなたの友人が見るとします。
　仮に電車の天井の高さを30万kmとしますと、友人の見る光は真上に1秒かかって天井に到達します。同じその光を外から見ているあなたは、電車は動いているので、光は斜め上に進んで電車の天井に到達するのを見ることになります。
　図示すれば、図1のような直角三角形になるのが現実です。

　電車の中で友人が1秒後に見るまっすぐ天井に到達した光の飛距離はもちろん30万kmですが、しかしあなたの見る斜めに進んだ光の長さはあきらかにそれよりも長くなっています。しかし光速度不変だとしたら、1秒後のこの斜めの光の長さも30万kmでなければなりません。直角三角形などはできなく、矛盾します。
　そこでアインシュタインは考えました。あなたと友人と、それぞれの時間の進み方が違うならば矛盾しない、と。

　そこで時間の進み方が違うとしたなら、どうなるか。光速をc km/秒、電車の速度v km/秒、友人の1秒に対しあなたの時間がｔ秒とすると、この直角三角形は図2のようになり、ピタゴラスの定理からで、になります。
　電車の速度が光速に比べ著しく遅ければ、v/cの値は限りなく0に近くなって、この分母はほとんど1になるため、ｔ＝1秒となり、友人もあなたも同じ1秒として、日常通りの同じ世界を共有できるということです。

　この共有世界を図にすれば、電車の横軸の長さが一点になって、図2の赤と青の線が重なり、図3のような1本の垂直な棒線が立っている状態になるわけです。
　一方、電車の速度が光速に近づけば近づくほど、分母がゼロに近づき、その結果ｔは無限大になっていきます。電車の中の友人には1秒の進みであっても、あなたには何年もの時間の進みとなるわけです。

　つまりあなたから見て、高速で移動している友人の時間は遅れ、ゆっくり進んでいるということです。ここでおわかりのように、それぞれの立場にいる人にはそれぞれの時間があり、光のような高速で移動する場合にはその違いが顕著に現れてくるということです。
　だからその状況を「誰から見るか」というそれぞれの立場が重要で、設問の中で言えば、1.3光年とあるのは地球から見た距離であり、1年とあるのは高速で移動しているロケットの中の時間です。
　そこで設問にある立場、「あなたにとって1年以内に・・・・その時点におけるロケットは地球から見て・・・」が、重要な意味を持ってくることがわかると思います。

　ここまできて、なんとなく設問が解けてきそうですが、どうもまだはっきりとしないという方たちには、具体的な数値を入れてやってみればわかります。

　仮にロケットのスピードを光速の60%としますと、v＝0.6cで、の式から と出ます。つまりロケットの中の1秒は地球では1.25秒、ロケットの1年分は、地球の1.25年分に相当します。
　だからこの場合、光速の60%でロケットの1年、つまり地球の1.25年分を飛べば、地球から見て1.25ｘ0.6＝0.75光年の距離を進むことができることになります。

　したがって光速の60%でロケットを飛ばしても、ロケットの1年分では地球から見た1.3光年の距離に到達できないことがわかります。もっとスピードを上げねばなりません。
　これにならって、その1.3光年に達するロケットのスピードを光速のX%とすれば、
の式からx＝0.792624・・と出ます。このあたりで卓上計算機かパソコンのExcelなどの助けが必要になるわけです。

　結果、切りのいいところとして、光速の80%でロケットの1年分を飛ばせば、地球から見た1.3光年分の距離は充分に進むことができ、ロケットは爆発前に地球に戻ることができるということです。
　検証のために、 のxに80%の0.8を入れて計算すれば、
なので、の値は1.33333・・となり、地球から見て1.3光年よりもさらに長い距離を飛ぶことができるということがわかります。

　ここまできて、設問の半端な数である1.3光年の意味がおわかりになったかとも思います。それは式の中の平方根が開きやすく、計算し易くなる配慮からです。
　厳密に言えば 、式の を満たすxは、前に計算したように0.792624・・と、80%よりはごく微少な値で少なくなりますが、爆発に対してアウトかセーフかがはっきりする値として80%とすれば充分でしょう。
　ただしこの場合、深刻な事態が起こることがわかった地球から1.3光年の距離にあるロケットのスピードは、光速の80%になっているかそれ以上、そうでなければ瞬時に光速の80%へと加速できることが条件です。

　こうして三角形のピタゴラスの定理と光速度不変の原理を知っていれば、特殊相対性理論を知らなくても、卓上計算機やパソコンを使って、自ら解答が導き出せるということで、その出題背景は、定理や原理の下で日常の常識とは相容れないようなことが出てきたときに、その日常の常識をくつがえせるような大胆な発想ができるかどうか、を見ようとするものです。
　その大胆な発想から導き出されたのが、今から100年ほど前にアインシュタインが発表した特殊相対性理論だったということです。

　それでは解答です。

　さて、皆さんの中でこのような解答を初めて体験される方たちは、特にその中で地頭力の働く方たちは、どうもすっきりしないという2つの矛盾点に対する疑問が出てくるのではないかと思います。

　では、その疑問への回答として次の設問を考えてみてください。