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	その11：そこに落とし穴が、、、	前号へ   次号へ

設問11 3(リットル) 入りの容器が1個、5入りの容器が1個ある。水はいくらでも使えるものとして、正確に4の水の量を量るにはどうすればいいか。

考えもしなかったような、あるいは解答を知ってびっくりといったこれまでの問題に対して、これは比較的ストレートでまともな問題という印象を受けます。したがって解答もすぐにわかったという方もおられるのではないでしょうか。が、それはおそらく頭の中で水の出し入れを想像しながら解かれたものと思います。そこに落とし穴があります。 　問題は、バケツの容量である3と5の足し算や引き算によって「4という解」を求めよ、と言っているわけですが、これを分かり易くするために、数式にして考えてみます。 　設問では「水はいくらでも使えるものとして」とありますので、3や5は何回使ってもいいことになりますから、まず3＋3＋3＋3＋3＋3＋3＋3−5−5−5−5＝4などを思いつきます。でも、それぞれの容器は最終的に1個しかありませんから、このような方法には限度があります。 　ではどうするか。バケツという現実を離れて視点を変えてみます。目的である4に焦点を置いて、3あるいは5から4を作るには、と数字だけを考えてみるのです。これは、数学というよりも算数の問題で、小学生でもすぐにその式を答えられます。3＋1＝4あるいは5−1＝4というシンプルな2つの式です。 　ここでよ〜く考えれば、もしもここに出てくる1を何らかの方法で作り出すことができたら、これらの式を使って4という解答が簡単に得られるということです。しかもこれによって解答は2つ出てきそうだということもわかります。

では＋1を作るにはどうするか。3と5を最少回使うならば3＋3−5＝＋1です。この式の意味していることは、3のバケツに水を2回汲んで5のバケツに注げば、3のバケツに1の水が残るということです。これで1の水が作り出せましたから、前述の式3＋1＝4にしたがって手順を踏んでいけばいいだけです。 　つまりこの3容器にできた1を、空にした5容器に注ぐ。さらにもう一度3容器をいっぱいにして、すでに1の水が入っている5容器に注げば、合計4の水ができます。

この解答は、2つの式3＋1＝4と5−1＝4のうち、前者を使いましたが、ここで重要なのは、前者の＋1は実際の１であり、後者の−1とは何か、それは空き部分の１、つまりマイナス符号を「空き」と考えてみることです。 　再び3や5を最少回使い、算数の式にして−1を作るならば、5−3−3＝−1です。そしてこの式の中でマイナスとなっているところを「空き」と考えるのです。 　この式は（5−3 ）−3＝−1となりますが、これをバケツの問題にして、5−3の意味を、満タンの5の容器から、「空き」の3の容器に水を満タンになるまで注ぐ、と考えます。その結果2の水が残るわけですが、次に残る計算2−3＝−1の意味を、この残った2の水を「空き」の3のバケツに注げば、3のバケツには1の「空き」ができると考えるわけです。 　この１の空きを利用すれば、もう解けたも同然で、最初に戻って5−1＝4の式が、即、使えることがわかります。つまり、この式が示すように、5容器にいっぱい入った水を、1の空きができた3容器に注げば、5容器には1の空きができて、残る水が目的の4になるというものです。 　さらにこちらの「空き」を考えた解答ステップ数のほうが、前者の解答までのステップ数より少ないことにもお気付きになるものと思います。

さて、落とし穴とは何か。面倒な式など使わなくても、ちゃんと解けたという方も多いと思いますが、落とし穴とは、ピカピカの解答が2つあるということです。頭の中で解いた方は、おそらくは1つだったのではないでしょうか。 　頭の中で考えるにしても、このように式を立ててみることにより、片手落ちになることは避けられるという教訓がこの設問の背景にあるということです。

正解11　 　      解答1．   3容器をいっぱいにして、それを5容器に注ぐ。3の容器をもう一度いっぱいにして、その5容器がいっぱいになるまで注ぐ。そしてその5容器を空にする。3容器には1残っているので、それを空になった5容器に注いでしまう。そしてもう一度3容器をいっぱいにして、その3を1残っている5容器に注げば、4の水ができる。       解答2．   5の容器にいっぱい水を入れる。次にそれを空（カラ）の3容器に、いっぱいになるまで注ぐ。今度はそのいっぱいになった3容器を空にして、そこに5容器に残っている2の水を注ぐ。そして空の5容器をもう一度いっぱいに水を入れてから、それを1の空きができている3容器がいっぱいになるまで注ぐと、5容器に4の水ができる。

では、出題背景を考えながら次のビル･ゲイツの設問を解いてください。

設問12 マイナス二進法で数をかぞえよ。

これはこれまでの問題と違い、今日のコンピューターが成り立っている二進法と関連するれっきとしたコンピューター原理を学ばせるような問題で、いかにもビル・ゲイツの考えそうな設問です。

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ビル・ゲイツの出題問題に関しては、HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ?　（Microsoft’s cult of the puzzle. How the world’s smartest companies select the most creative thinkers. ）By William Poundstore の原書や、筆者の海外における友人たちの情報を参考にしています。 　また連絡先不明などにより、直接ご連絡の取れなかった一部メディア媒体からの引用画像につきましては、当欄上をお借りしてお許しをいただきたく、よろしくお願い申し上げます。