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	その16：具体的な取り掛かりよりは、まず大づかみ	前号へ   次号へ

前回の設問は、1つの見方だけでは解決しないということがわかれば、その見方を素早く切換え、そして残されている方法へと見極めができるかどうか、そんな資質を見ようとしていましたが、今号はどうでしょうか。

設問16 ここに2個の砂時計、5分計と7分計がある。これら2個の砂時計を使って、11分と13分を計るにはどうすればいいか？　またこれらを除く8分から19分までの各分を計るにはどうすればいいか？　ただし、砂時計をひっくり返す時間はかからないものとする。

初めてこの設問に出会うと、まず最初に誰もが砂時計をひっくり返す様を、頭の中で思い浮かべると思います。そしておそらく、最初に考えつくのが図1のような始め方ではないでしょうか。 　そして9分に辿り着き、さらにその中のステップAを繰り返すことによって、そこから2分間隔の時間が計れることから、順次11分、13分、15分、17分、19分もわかるというものです。残るは8分、10分、12分、14分、16分、18分ということで、それらをあとでじっくり吟味しようと・・・。 　たしかにこの方法で、まずは11分、13分などが計れます。しかしそこで満足してしまうと落とし穴に入ってしまいます。 　この設問は、限られた値しかない計測器で量を計るという問題で、これは設問11の2つの限られた容量のバケツを使った問題と非常によく似ています。そのとき何をやったかと言いますと、式を使いました。そこでは一定の容量や空きを意図して作ってみることにより、すっきりとした形の解答を見落としなく得ることができました。 　そこでこの砂時計の問題も同様に、式を使って「計る」から「作る」をやってみます。まず5と7の2つの値を使って加減算をやってみます。最初に加算。5＋5＝10、5＋7＝12、7＋7＝14、5＋5＋5＝15、5＋5＋7＝17、5＋7＋7＝19　が作れますから、5分計と7分計をこの式に従って順次ひっくり返して（以下、反転）いけば、それぞれすっきりとした形で10分、12分、14分、15分、17分、19分（図2）が計れることがわかります。ここに出てくる15分、17分、19分などは3回の反転で済みます。図１ではそれぞれ6回、7回、8回もの反転が必要で、すっきりさ加減がはっきりと出てきます。 　設問の順序にしたがって、図1のようなところから入っていきますと、どうしても2つの砂時計の組合せをあれこれ難しく考えてしまい、これらすっきりした形の解答を見落としがちになり易いのです。 　次に5と7の減算式によって作れる正の数を考えてみます。　まず7−5＝2で2が出ます。さらにこの2を使って3（＝5−2）を新たに、またこの3を使って4（＝7−3）を、そしてさらにこれらから1（＝4−3）も作ることができます。 　実際にこれらの数は、2つの砂時計を同時に、あるいは交互に反転することにより、時計の上や下にある砂の量として、その途中で作りだせる数であることを意味していますから、こうして出てきた1、2、3、4、を利用すれば、すでに前述の加算式で作り出されている数とともに、残りのどんな数も作れるということになります。 　しかし減算の式からもわかりますが、まず2が最初に作られ、そして次に3が、さらに4は3ができてから、また1は4ができた後はじめて作られますから、これら目的の数を導き出すにも順序があることになり、たとえばいきなり5分計を2回反転したあと、5＋5＋1というような形で11を作るというわけにはいきません。 　ではまず、7−5＝2で作られる2から始めます。この式からわかることは、7が2と5に分割されていて、5（5分計）はそのままの状態を意味しています。だからこの5に2を順次繰り返し加えていくことにより7、9、11、13、15、17、19ができます。これは冒頭でコメントした図1そのものです。 　同様に考えて次に作られる3は、5−2の結果で、そのままの状態にある7にこの3を繰り返し加えていき、結果、10、13、16、19が作れます。 　（図3） 　同様に4が作られるのは、7−5＝2、5−2＝3、7−3＝4と、3つのステップが必要で、つまり砂時計でいえば、3回の反転の後、作られるということです。分かり易くするため図示すれば、図4のようになり、10分のところでできています。ですから、この10に4を繰り返し加えていけば14、18が作れます。 　（図4） 　そして1を作れるのは、4−3＝１のようにそのあとで、4つのステップの4回反転が必要であることがわかります。図5の14分のところです。そのあとで8（＝1＋7）を作ることができますが、最初の作業からは14＋8＝22分も経っていますので、砂時計の反転スタートからは8分を計れません。その途中で初めて計ることができます。 　5と7を使った「差」ということを念頭に、最初から 　　1＝5ｘ3−7ｘ2 （5分計3回と7分計2回反転との差） 　　2＝7−5、　　　 （5分計と7分計それぞれ1回反転との差） 　　3＝5ｘ2−7、 （5分計の反転2回と、7分計との差） 　　4＝7ｘ2−5ｘ2、 （5分計及び7分計それぞれ2回反転との差） の式を使って1、2、3、4を導き出し、あとは順次、加算によって目的の数を作っていく手順もありますが、この場合、他の方法による複数回答を見逃しがちになりますので注意が必要です。 　前回の時間の測定に関連して、この設問は私の考えた問題ですが、この種の問題は設問11と同様に式を考えることにより見落としがなくなり、しかもすっきりとした形で解けてきます。また設問の順序に惑わされて具体的な部分から入って行きますと、つい簡潔で本質的な解を見落してしまいがちになりますので、まず大づかみが大切です。 　またすべての分が計れるなら、なぜ問題を8分からX分までの各分を計るにはどうすればいいか？　としなかったのかという疑問がわきます。その理由は、一般化ができるということを事前に示すような設問にしますと、上記の1、2、3、4分の差を作ればいいというヒントを簡単に与えかねないこと、さらにどれくらいよく考えてこの制限範囲内での複数解答までだせるかを見ようとしたからです。 　それでは解答に移りますが、文章にすると長くなりますので掲載の図を使います。

正解16 図1〜図4上の実線赤丸印が正解（破線は図2と実質同じ）。また8分だけは砂時計の反転スタート時点から計ることはできない。ただし図5のように、計測開始時を砂時計の反転途中で合わせれば、作業途上で計ることができる。

さて、その背景を慎重に考えながら、次のビル・ゲイツの設問を解いてみてください。

設問17 外見上はまったく見分けのつかない同じ玉が詰っている5個の箱がある。それを見分ける唯一の方法は重さで、そのうち1つの箱に入っている玉だけが9グラム、他の箱の玉はすべて10グラムである。秤があって、一度だけ重さを測ることができるが、中身の違う玉の入っている箱がどれか、どうやって見分けるか。

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ビル・ゲイツの出題問題に関しては、HOW WOULD YOU MOVE MOUNT FUJI ?　（Microsoft’s cult of the puzzle. How the world’s smartest companies select the most creative thinkers. ）By William Poundstore の原書や、筆者の海外における友人たちの情報を参考にしています。 　また連絡先不明などにより、直接ご連絡の取れなかった一部メディア媒体からの引用画像につきましては、当欄上をお借りしてお許しをいただきたく、よろしくお願い申し上げます。