同じ濃度で2つのコップに入っているリンゴジュースとミカンジュースをスプーン1杯分入れ替えたとしたら、感覚的にそれぞれの濃度に差が出てくるように思えますが、ジュースやミルクあるいは紅茶やコーヒーでも、それぞれ2つのものがまったく同じ濃度で同じ量だけコップに入っていれば、事前に中身を均一にかき混ぜようが混ぜまいが、スプーンやサジで何回入れ替えようが、最終的に元のコップにある全体量が変わらないかぎり、それぞれのコップにある互いの量は等しくなる、ということを前問で見ていただきました。　
　日常の感覚的な想像からは、時として誤った見方をしがちになるというよい例でしたが、さて、今号の設問に対する感覚的な見方はどうでしょうか。

　では解説に入ります。

設問64 ある自動車メーカーがAとBの2種類の新車を開発しました。そして、自社のテストコースで100kmの耐久走行テストを行うため、A車とB車を同時にスタートさせることになりました。そこではB車を一定の速度で走らせますが、A車には最初の50kmをB車よりも毎時10km速く走らせ、あとの半分の50kmをB車よりも毎時10km遅く走らせることにしました。この結果、A車とB車は100km地点ではどうなるでしょうか。両者は同時に着くのでしょうか、それともどちらが先に着くのでしょうか。

　さて、この問題を見て、最初に皆さんはどう思われたでしょうか。
　まずは次のような感覚的な思いが脳裏をよぎったのではないでしょうか。つまり、AがBより速く進むペースと遅く進むペースが、前半の50kmと後半の50kmのそれぞれで、ちょうど相殺されるはずだから同時に着くのではないか、とするものです。
　面接官がストップウォッチを片手にしてスピード回答を要求しているような場面であったならば、なおさらこの着想による思いが多く見られるかもしれません。
　　
　しかしストップウォッチなどがちらつかない通常の面接場面だとすると、つづいて次の疑問が出てくるのではないでしょうか。
　つまり「これが解答だとすると、試験問題の出題にしてはあまりにも単純すぎる、どこかおかしいのではないか」とする疑問です。
　こうして本格的なアプローチへと入っていかれた方たちが多かったかもしれません。

　では具体的な解説に入ります。
まずはオーソドックスなアプローチで、紙とペンを使い数式で解く方法です。しかし面接の場では、おそらくこのような方法ではなく、もっと別のスマートと思われるような回答の仕方が喜ばれると思われますので、できるだけこの方法は最後の手段にとっておくようにしていただいて、ここでは説明のために、とりあえずこの方法で試みてみたいと思います。

　まず、B車の一定速度を時速X kmとしますと、100km進むのに要する時間は100/X時間。またA車の場合、前半50kmは時速X＋10kmで、後半50kmはX−10kmになりますから、100km進むのに要する時間は50/(X＋10)＋50/(X−10)時間です。 　このA車の時間は通分して[50(X−10)/(X＋10) (X−10)]＋[50(X＋10)/(X−10) (X＋10)]＝100X/(X²−100)となります。
　つまりそれぞれの要する時間として、A対Bは100X/(X²−100) 対100/Xとなり、この両者の時間の大きさを簡単に比べられるようにするため、両者をBの時間100/Xで割れば、結果、X²/(X²−100) 対1となります。

　ここに出てきたAのX²/(X²−100)は、分母が分子よりも必ず小さくなり、常にこの値は1よりも大きな数値になりますから、結局、100km進むのに要する時間はA車のほうが常にB車より多く時間がかかることになって、B車のほうが早く100km地点に着くことがわかります。
　この数式を見ますと、気になることが1つあります。それはAのX²/(X²−100)となる分母で、Xの値が10の場合はこの分母の値が0となり、割り算が成立しないこと、また10より小さい値の場合にはマイナスになることから、それらの意味はどういくことなのかという点です。

　これは数式だけを見ていることから出てくる問題で、現実の問題に返ってみれば、分母が0となるXの値 10とはB車の速度が10の場合で、そのときA車の後半の速度は10−10＝0、つまりA車は止まっている状態を意味するわけです。
　ところがXの値が10より小さい場合、A車の後半の速度がマイナスの数値となります。しかし現実にはマイナス速度というものはありません。ということは、出題側はB車の速度は時速10km以上を前提にしているということを意味しています。
　このマイナスの意味を、A車はB車とは逆方向に進むと考えてもいいかもしれませんが、これでは出題の意図がまったく意味をなしません。
　いずれにしても、A車はB車よりも必ず遅くなり、100km地点にはB車が先に着くという結果になります。

　これで、一応正解がわかりました。もちろんこの方法で解いてもかまわないのですが、もしも紙とペンがないならば、暗算で解くには少々困難が伴うはずです。
　では別の解法とはどんな方法があるのか。設問をよく読めば、2つの車は「同時に着くか、同時でなければどちらが先か」という、ただそれだけの回答を求めています。ということは、「同時に着くかどうか」をチェックすれば、同時でなかった場合には自ずとどちらが先に着くかもわかるはず、ということです。
　この「同時に着くかどうか」だけをチェックする一番手っ取り早い方法といえば、具体的な値を当てはめてみればすぐわかるはずです。

　そこで走行に要する時間をわかりやすい値にするため、半分の50kmをB車が1時間で走行できるよう、その時速を50kmと仮定します。するとA車の時速は前半が50＋10＝60km、後半が50−10＝40km です。
　すると100km進むに要する時間はB車の場合 100/50＝2時間、A車の場合は50/60＋50/40＝100/120＋150/120＝25/12＝2.083・・時間と、A車のほうがB車より時間がかかることから、「同時に着くことはなく、B車のほうが早く着く」ということがわかります。これなら暗算でもできると思います。　

　さて2台の車は、一見、速く進むペースと遅く進むペースで相殺されるように考えられがちですが、なぜそうならないのか、ここで検証の意味も含めてその理由を見てみたいと思います。
　これまでの説明では、走行に要する時間というものに焦点を当てた形で計算をしてきましたが、ここで少し視点を変えてスピードという観点から両者を比較してみますと、その理由がわかってきます。つまり両者の速く進むペースと遅く進むペースの比較です。

　具体的な数値を使ったほうがわかりやすいので、前述で用いたB車の時速を50kmとして説明します。
　設問に従えば、その時のA車の時速は前半が60km、後半が40kmですから、ここでA車とB車のスピードを比較してみます。 　表1のようにA車のスピードを見ますと、B車より速いほうの前半でB車の1.2倍、B車より遅いほうの後半でB車の0.8倍、一方、B車のスピードを見ればA車より遅いほうの前半でA車の0.833倍、またA車より速いほうの後半ではA車の1.25倍となります。

　したがって、スピードが速いほうで比べても1.25倍＞1.2倍と、B車はA車より速く、また遅いほうで比べてもそのスピードは0.833倍＞0.8倍と、やはりB車がA車より速い、という結果になることがわかります。
　このことは、B車の一定速度が例に引用した50kmではなく40kmでも、あるいは70kmや90kmでも、また両者の速度差が10kmではなく20kmでも、あるいは30km、40kmでも同じ結果になるということが、スピードを比べる倍数を出すときの分数をみればよくわかるはずです。

　たとえば表1で、スピードが速いほうとして50/40（＝1.25）と60/50（＝1.2）を比べ、またスピードが遅いほうとして40/50（＝0.8）と50/60（＝0.8333）を比べました。
　これらはそれぞれの分数となる5/4と6/5、そして4/5と5/6を比べているわけですが、一般に分母分子の差が同じもの同士を比べた場合、分子が分母より大きい仮分数同士では分母の小さい側のほうの値が大きくなり、その逆に、分子が分母より小さい真分数同士では分母の大きい側のほうの値が大きくなります。　　

　つまりB車の一定速度や両者の速度差がどのような値であっても、両者の分母分子の差は同じとなり、それらを比較した場合この仮分数と真分数の結果により、必ずB車のA車に対する値が大きくなることから、B車のスピードのほうが速いということになるのです。
　これがなぜB車がA車よりも早くゴールするのか、そのスピードという観点から見た理由です。

　一見、速く進むペースと遅く進むペースで相殺されるように考えられがちな当設問の出題背景は、冷静な判断力の有無と、やはり論理的な思考力および素早い計算力を見ようとするものです。

　それでは解答です。